不減衰系の運動方程式

減衰を考慮しない（運動エネルギーと位置エネルギーが等価交換される理想状態）の運動方程式は、

$$\begin{eqnarray}
M &:& 質量\\
\ddot{x} &:& 加速度\\
K &:& 剛性\\
x &:& 変位
\end{eqnarray}
$$

としたとき
$$
M\ddot{x}+Kx=0
$$

となります。

単振動（調和振動、単調和振動）を考えると、変位をsin波で表す場合、角速度を\(\omega\)とすると

$$
x=X\sin{\omega t}
$$

\(x\)の1階微分は速度となるので、

$$
\dot{x}=\omega X\cos{\omega t}
$$

更に微分し加速度は、\(x=X\sin{\omega t}\)より

$$
\begin{eqnarray}
\ddot{x} &=& -\omega^2 X\sin{\omega t}\\
&=&-\omega^2x
\end{eqnarray}
$$

となります。

よって、単振動の運動方程式は

$$
\begin{eqnarray}
M\ddot{x}+Kx &=& 0\\
-\omega^2Mx+Kx &=& 0\\
(-\omega^2M+K)x &=& 0
\end{eqnarray}
$$

となります。